7  สมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้นและการประยุกต์ในทางเศรษฐศาสตร์

ข้อจำกัด

เนื่องจากในบทนี้ชุดคำสั่งของ caracas ยังไม่ลองรับการใช้งานสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์โดยตรง ทำให้จำเป็นต้องใช้การคำนวณด้วยชุดคำสั่งของ SymPy โดยตรงจากภาษาไพธอน แต่ผู้เขียนจะใช้วิธีทำงานบนพื้นฐานของอาร์อยู่ เพื่อคงไว้ซึ่งชื่อของหนังสือคือ คณิตศาสตร์สำหรับนักเศรษฐศาสร์ด้วยอาร์

การที่นักเศรษฐศาสตร์ต้องศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ (Ordinary Differential Equations: ODEs) เป็นเรื่องที่ สำคัญมาก โดยเฉพาะในสายงานเศรษฐศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ พลวัตของระบบ (dynamic systems) เช่น การเจริญเติบโตทางเศรษฐกิจ, พฤติกรรมการบริโภคในระยะเวลา, หรือแม้แต่การเงินระหว่างประเทศ

7.1 ทำไมนักเศรษฐศาสตร์ต้องศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์?

1. เพื่อเข้าใจพลวัตของระบบเศรษฐกิจ เศรษฐกิจเป็นระบบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เช่น GDP, เงินเฟ้อ, การลงทุน ฯลฯ สมการ ODE ช่วยอธิบายว่า “ตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างไร” เช่น Solow growth model: การเปลี่ยนแปลงของทุน K \[ \frac{dK(t)}{dt} = sY(t) - \delta K(t)\]

2. ใช้สร้างแบบจำลองเศรษฐศาสตร์จุลภาคและมหภาค

   • Consumption models เช่น Ramsey–Cass–Koopmans model ใช้ ODE อธิบายการบริโภคระยะยาว

   • IS-LM dynamic model ใช้ ODE แสดงการปรับตัวของตลาดเงินและตลาดสินค้า

   • Overlapping Generation Model (OLG) อาศัย ODE เพื่อวิเคราะห์พฤติกรรมของรุ่นประชากรในอนาคต

3. ใช้ในเศรษฐศาสตร์การเงิน (Financial Economics)

   • การกำหนดราคาสินทรัพย์ (เช่น bond, stock)

   • Black-Scholes Equation เป็นสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน (PDE) ที่มีรากฐานจาก ODE

   • Interest Rate Models เช่น Vasicek model

4. เข้าใจพฤติกรรมสมดุลและเสถียรภาพ

   • การวิเคราะห์จุดสมดุล (steady state)

   • การดูว่าเศรษฐกิจมีแนวโน้มเข้าสู่ภาวะสมดุดลหรือไม่ โดยใช้ eigenvalue analysis จากระบบ ODE

7.1.1 ตัวอย่างสมการที่นักเศรษฐศาสตร์ควรรู้

แบบจำลอง	รูปแบบสมการ	คำอธิบาย
Solow Model	\(\frac{dk}{dt} = sf(k) - \delta k\)	การเติบโตของทุนต่อหัว
Ramsey Model	\(\frac{dc}{dt} = \frac{1}{\theta}(f'(k) - \rho - \delta) \cdot c\)	พฤติกรรมบริโภคที่เหมาะสม
IS-LM dynamic	\(\frac{dY}{dt} = \alpha (C(Y) + I(r) + G - Y)\)	การปรับตัวของรายได้
Predator-Prey (ในเศรษฐกิจพลังงาน/สิ่งแวดล้อม)	\(\frac{dx}{dt} = ax - bxy\),\(\frac{dy}{dt} = -cy + dxy\)	ทรัพยากร vs การบริโภค

7.2 สมการเชิงอนุพันธ์ (Ordinary Differential Equation: ODE)

สมการเชิงอนุพันธ์ คือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน \(y(t)\) และอนุพันธ์ของมัน (เช่น \(\frac{dy}{dt}\), \(\frac{d^2y}{dt^2}\), ฯลฯ)

นิยามของสมการเชิงอนุพันธ์

สมการที่มีลักษณะทั่วไป: \[F\left(t, y, \frac{dy}{dt}, \frac{d^2y}{dt^2}, \dots, \frac{d^n y}{dt^n}\right) = 0\] โดยที่ \(y = y(t)\) คือฟังก์ชันที่ไม่ทราบล่วงหน้า (unknown function) และ \(t\) คือตัวแปรอิสระ เช่นเวลา

ประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์

1. ตามลำดับอนุพันธ์

   • อันดับหนึ่ง (First order): \[\frac{dy}{dt} = f(t, y)\]

   • อันดับสองขึ้นไป (Higher-order): \[\frac{d^2y}{dt^2} + p(t)\frac{dy}{dt} + q(t)y = g(t)\]

2. ตามลักษณะ

   • เชิงเส้น (Linear): ไม่มี \(y^2\), \(y \cdot \frac{dy}{dt}\), ฯลฯ

   • ไม่เชิงเส้น (Nonlinear): มีผลคูณหรือกำลังของ \(y\) และอนุพันธ์

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์

เป้าหมายคือ: หา ฟังก์ชัน \(y(t)\) ที่เป็นคำตอบของสมการนั้น

ตัวอย่าง:
\[ \frac{dy}{dt} = 3y \]

วิธีแก้:

1. แยกตัวแปร (Separation of Variables): \[\frac{1}{y} \, dy = 3 \, dt\]
2. อินทิเกรตทั้งสองข้าง: \[\ln|y| = 3t + C\]
3. ยกกำลัง: \[y = Ce^{3t}\]

คำตอบทั่วไป (General Solution): ฟังก์ชันที่ขึ้นกับค่าคงที่ \(C\)

คำตอบเฉพาะ (Particular Solution): เมื่อกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น เช่น \(y(0) = 2\) แล้วแทนหา \(C\)

7.3 การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วย caracas และ SymPy

แม้ caracas จะไม่สามารถแก้ ODE ได้โดยตรงเหมือนใน SymPy (Python) แต่เราสามารถใช้ caracas ร่วมกับ reticulate เพื่อเรียก SymPy มาใช้งานได้เต็มรูปแบบในอาร์

ขั้นตอนการใช้งานและตัวอย่าง

# 1. เรียกใช้านชุดคำสั่งที่จำเป็น
library(reticulate)
# 2. นำเข้า SymPy
sympy <- import("sympy")

สมมุติเราจะแก้สมการ
\[\frac{dy}{dt} = ky\] 3. นิยามตัวแปรและฟังก์ชัน

t <- sympy$symbols("t")
k <- sympy$Symbol("k")
y <- sympy$Function("y")

4. สร้างสมการเชิงอนุพันธ์

ode <- sympy$Eq(sympy$diff(y(t), t), k * y(t))
ode

Eq(Derivative(y(t), t), k*y(t))

5. แก้สมการเชิงอนุพันธ์

sol <- sympy$dsolve(ode)
sol

Eq(y(t), C1*exp(k*t))

ปัญหา ผลลัพธ์ที่ออกอยู่ในรูปการคำนวณด้วยโปรแกรม แต่ก็ยังสามารถอ่านเข้าใจได้ แต่สำหรับการเขียนรายงานแล้ว จำเป็นต้องเปลี่ยนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปสมการที่สวยงาน จึงสร้างฟังก์ชัน latex_render() ขึ้นมาเพื่อเปลี่ยนผลลัพธ์เป็นภาษา

latex_render <- function(sympy_expr, use_rhs = TRUE) {
  sympy <- import("sympy")

  # ถ้าเป็น Eq ให้เลือก rhs หรือทั้งสมการ
  if ("Eq" %in% class(sympy_expr) && use_rhs) {
    latex_str <- sympy$latex(sympy_expr$rhs)
  } else {
    latex_str <- sympy$latex(sympy_expr)
  }

  cat("$$", latex_str, "$$\n")
}

วิธีการใช้งาน จะต้อง กำหนด chuck code ในรูปแบบนี้

```{r}
#| results='asis'
latex_render(sol)
```

ผลลัพธ์ในรายจะออกมาเป็นสมการสวยงามแบบนี้

\[ y{\left(t \right)} = C_{1} e^{k t} \]

เพิ่มเติม: การกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น (Initial Conditions) เช่น กำหนดว่า \(y(0) = y_0\) สามารทำได้โดยใช้ฟังก์ชัน dic() ช่วยดังนี้

# สร้าง initial condition: y(0) = y0
ics <- dict()
ics[[y(0L)]] <- sympy$Symbol("y0")
ics

{y(0): y0}

# แก้ ODE พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น
sol2 <- sympy$dsolve(ode, ics = ics)
sol2

Eq(y(t), y0*exp(k*t))

เราสามารถสร้างฟังก์ชัน สำหรับกำหนดเงื่อนไขได้ ดังนี้

make_ics <- function(ics_list, funcname = "y", sympy = import("sympy")) {
  ics_dict <- reticulate::dict()
  
  for (name in names(ics_list)) {
    # แยกชื่อ เช่น "y(0)" $\rightarrow$ 0
    matches <- regmatches(name, regexec(paste0(funcname, "\\(([^)]+)\\)"), name))[[1]]
    if (length(matches) != 2) {
      stop("Initial condition key format must be like: y(0), y(1), etc.")
    }
    
    t_val <- as.numeric(matches[2])  # เวลา เช่น 0
    f_t <- sympy$Function(funcname)
    ics_dict[[f_t(t_val)]] <- sympy$Symbol(ics_list[[name]])
  }
  
  return(ics_dict)
}

วิธีการใช้งาน

ics <- make_ics(list("y(0)" = "y0"))
ics

{y(0.0): y0}

จะแก้สมการเชิงอนุพันธ์พร้อมเงื่อนไข เริ่มต้นได้

# แก้ ODE พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น
sol2 <- sympy$dsolve(ode, ics = ics)
sol2

Eq(y(t), y0*exp(k*t))

การใช้ SymPy ด้วยอาร์มีความยุ่งยากเพิ่มขึ้นเล็กน้อย ดังนั้นในเนื้อหา ODE มีหมายถึงฟังก์ชัน ที่จะถูกใช้งานบ่อยๆ เราสามารถเปลี่ยนเป็นฟังก์ชัน ที่ช่วยให้เขียนได้สั้น และกระชับลงได้มาก ดังนี้

7.4 ฟังก์ชันที่ใช้บ่อยในการแก้ ODE ด้วย sympy:

1. symbols() – กำหนดตัวแปร

2. Function() – สร้างฟังก์ชัน \(y(t)\)

3. diff() – หาอนุพันธ์

4. Eq() – นิยามสมการ

5. dsolve() – แก้สมการเชิงอนุพันธ์

7.5 การสร้างฟังก์ชันในอาร์เพื่อใช้ SymPy แก้สมการเชิงอนุพันธ์

# โหลด SymPy
library(reticulate)
sympy <- import("sympy")
# กำหนด helper ฟังก์ชัน
# สร้างตัวแปร
syms   <- sympy$symbols
# สร้างฟังก์ชัน
func   <- sympy$Function
# หาอนุพันธ์
diff_  <- sympy$diff
# สร้างสมการ
Eq     <- sympy$Eq
# แก้สมการเชิงอนุพันธ์
dsolve <- sympy$dsolve

ตัวอย่างการใช้งาน:

1. ไม่มีเงื่อนไขเริ่มต้น:

t <- syms("t")
k <- syms("k")
y <- func("y")
ode <- Eq(diff_(y(t),t), k*y(t))
ode

Eq(Derivative(y(t), t), k*y(t))

dsolve(ode)

Eq(y(t), C1*exp(k*t))

2. มีเงื่อนไขเริ่มต้น \(y(0) = y_0\):

ics <- make_ics(list("y(0)" = "y0"))
dsolve(ode, ics = ics)

Eq(y(t), y0*exp(k*t))

7.6 ตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ในทางเศรษฐศาสตร์

7.6.1 Consumption Growth Equation (Euler Equation)

แบบจำลองคือ

\[\frac{dC}{dt} = \frac{1}{\theta}(r - \rho)C,~\theta,\rho,r>0\] มาจากทฤษฎี Ramsey–Cass–Koopmans Model
ใช้วิเคราะห์การเติบโตของการบริโภค \(c(t)\) ตามอัตราดอกเบี้ย \(r\), ความชอบของผู้บริโภค \(\theta\), และ discount rate \(\rho\)

จุดเด่น

• เป็นสมการ อันดับหนึ่ง และ แยกตัวแปรได้ (separable)

• คำตอบคือ exponential function:

\[ C(t) = C_1 e^{ \frac{(r - \rho)}{\theta} t } \]

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ

# สร้างตัวแปร
t <- syms("t")
theta <- syms("theta", positive = TRUE)
r <- syms("r", positive = TRUE)
rho <- syms("rho", positive = TRUE) 
# สร้างฟังก์ชัน
C <- func("C") # ห้ามตั้งชื่อด้วย c เพราะจะไปตรงกับ c( ) ของ R
ode <- Eq(sympy$diff(C(t), t), (r - rho) * C(t)/theta)
ode

Eq(Derivative(C(t), t), (r - rho)*C(t)/theta)

จัดเป็นสมการให้สวยงาม

latex_render(ode)

\[ \frac{d}{d t} C{\left(t \right)} = \frac{\left(r - \rho\right) C{\left(t \right)}}{\theta} \]

dsolve(ode)

Eq(C(t), C1*exp(t*(r - rho)/theta))

2. มีเงื่อนไขเริ่มต้น \(C(0) = C_0\):

ics <- make_ics(list("C(0)" = "C0"), funcname = "C")
latex_render(dsolve(ode, ics = ics))

\[ C{\left(t \right)} = C_{0} e^{\frac{t \left(r - \rho\right)}{\theta}} \]

7.6.2 Solow Growth Equation (Capital Accumulation)

แบบจำลองคือ

\[ \frac{dk}{dt} = s k^\alpha - \delta k \]

จาก Solow-Swan Model ซึ่งอธิบายการเติบโตของทุนต่อหัวในระยะยาว
\(s\) คืออัตราการออม, \(\delta\) คืออัตราการเสื่อม, \(\alpha \in (0,1)\) คือผลผลิตส่วนเพิ่มของทุน

จุดเด่น:

• ถ้า \(\alpha = 1\) \(\rightarrow\) สมการกลายเป็น linear ODE

• ใช้เพื่อแสดง steady-state (เมื่อ \(\frac{dk}{dt} = 0\))

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ

# สร้างตัวแปร
s <- syms("s", positive = TRUE)
delta <- syms("delta", positive = TRUE)
alpha <- syms("alpha", positive = TRUE)

# สร้างฟังก์ชัน
k <- func("k") 
rhs <- s*k(t)^alpha-delta*k(t)
ode <- Eq(sympy$diff(k(t), t), rhs)
ode

Eq(Derivative(k(t), t), -delta*k(t) + s*k(t)**alpha)

จัดเป็นสมการให้สวยงาม

latex_render(ode)

\[ \frac{d}{d t} k{\left(t \right)} = - \delta k{\left(t \right)} + s k^{\alpha}{\left(t \right)} \]

ถ้าไม่กำหนดค่า \(\alpha\) เท่ากับค่าเป็นตัวเลขในช่วง (0,1) จะไม่สามารถแก้สมการ ดังนั้น สมมุติให้ \(\alpha = 0.5\) จะได้

# แทนค่า theta = 0.5
ode_sub <- ode$subs(alpha, 0.5)
ode_sub

Eq(Derivative(k(t), t), -delta*k(t) + s*k(t)**0.5)

latex_render(dsolve(ode_sub))

\[ k{\left(t \right)} = e^{\delta \left(C_{1} - t\right)} + \frac{2 s e^{\frac{\delta \left(C_{1} - t\right)}{2}}}{\delta} + \frac{s^{2}}{\delta^{2}} \]

7.6.3 Price Adjustment Model (Adaptive Expectations)

แบบจำลอง:

\[\frac{dp}{dt} = \lambda (p^e - p)\]

คือ แบบจำลองการปรับตัวของราคา (Price Adjustment Model) ภายใต้ ความคาดหวังแบบปรับตัว (Adaptive Expectations) ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในเศรษฐศาสตร์มหภาค โดยเฉพาะในการอธิบายการปรับราคาหรือค่าจ้างเมื่อผู้ผลิตหรือแรงงานยังไม่ทราบราคาที่ดุลยภาพแน่ชัด

ความหมายของแต่ละสัญลักษณ์

สัญลักษณ์	ความหมาย
\(p(t)\)	ราคาจริง (actual price) ณ เวลา \(t\)
\(p^e(t)\)	ราคาที่คาดการณ์ไว้ (expected price)
\(\lambda > 0\)	ความเร็วในการปรับราคา (speed of adjustment)
\(\frac{dp}{dt}\)	อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคา

คำอธิบายแบบจำลอง:

• ถ้า \(p^e > p\): ผู้ผลิตคาดว่าราคาจะสูงกว่าราคาจริง \(\rightarrow\) ราคาจะปรับเพิ่มขึ้น
• ถ้า \(p^e < p\): ราคาจะปรับลดลง
• ยิ่ง \(\lambda\) ใหญ่ \(\rightarrow\) ราคาปรับเร็ว
• เมื่อ \(p \to p^e\) \(\rightarrow\) \(\frac{dp}{dt} \to 0\) \(\rightarrow\) ราคาคงที่

ถ้า \(p^e\) เป็น ค่าคงที่ \(\rightarrow\) เป็น ODE ที่มีคำตอบทั่วไป:

\[ p(t) = p^e + (p_0 - p^e) e^{-\lambda t} \]

โดยที่ \(p_0 = p(0)\) คือราคาตั้งต้น

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ และกำหนด \(p^e\) คือค่าคงที่โดยใช้ \(p_e\) แทน

# สร้างตัวแปร
t <- syms("t")
lambda <- syms("lambda_", positive = TRUE)
pe <- syms("p_e", positive = TRUE)
# สร้างฟังก์ชัน
p <- func("p")
ode <- Eq(sympy$diff(p(t), t), lambda*(pe-p(t)))
latex_render(ode)

\[ \frac{d}{d t} p{\left(t \right)} = \lambda_{} \left(p_{e} - p{\left(t \right)}\right) \]

แก้สมการ

latex_render(dsolve(ode))

\[ p{\left(t \right)} = C_{1} e^{- \lambda_{} t} + p_{e} \]

2. มีเงื่อนไขเริ่มต้น \(p(0) = p_0\):

ics <- make_ics(list("p(0)" = "p0"), funcname = "p")
latex_render(dsolve(ode, ics = ics))

\[ p{\left(t \right)} = p_{e} + \left(p_{0} - p_{e}\right) e^{- \lambda_{} t} \]

7.6.4 Exponential Capital Depreciation

แบบจำลอง

\[ \frac{dK}{dt} = -\delta K \] คือแบบจำลองการ เสื่อมราคาของทุน (Exponential Capital Depreciation Model)
โดยสมมติว่า ทุน (Capital stock) ลดลงต่อเนื่องตามอัตราส่วนคงที่ของปริมาณทุนเอง

คำอธิบายสัญลักษณ์

สัญลักษณ์	ความหมาย
\(K(t)\)	ปริมาณทุน (capital stock) ณ เวลา \(t\)
\(\delta > 0\)	อัตราการเสื่อมราคา (depreciation rate)
\(\frac{dK}{dt}\)	อัตราการเปลี่ยนแปลงของทุนตามเวลา

ความหมายของสมการ

• แบบจำลองนี้ สมมติว่า ทุนลดลงตามสัดส่วนของทุนที่มีอยู่

• เป็นระบบ เสื่อมราคาลักษณะเอ็กซ์โพเนนเชียล (exponential decay) เช่นเดียวกับการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี หรือประชากรที่ลดลงโดยไม่มีการเกิดใหม่

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ

# สร้างตัวแปร
t <- syms("t")
delta <- syms("delta", positive = TRUE)
# สร้างฟังก์ชัน
K <- func("K")
ode <- Eq(sympy$diff(K(t), t), -delta*K(t))
latex_render(ode)

\[ \frac{d}{d t} K{\left(t \right)} = - \delta K{\left(t \right)} \]

แก้สมการ

latex_render(dsolve(ode))

\[ K{\left(t \right)} = C_{1} e^{- \delta t} \]

2. มีเงื่อนไขเริ่มต้น \(K(0) = K_0\):

ics <- make_ics(list("K(0)" = "K0"), funcname = "K")
latex_render(dsolve(ode, ics = ics))

\[ K{\left(t \right)} = K_{0} e^{- \delta t} \]

พฤติกรรม:

• เมื่อ \(t \to \infty\), \(K(t) \to 0\)

• ยิ่ง \(\delta\) มาก \(\rightarrow\) ทุนลดเร็ว

• ใช้ในโมเดลการเจริญเติบโต (Growth Models) เช่น Solow, Ramsey เพื่อคำนวณทุนสุทธิ:
  \[ \frac{dK}{dt} = I(t) - \delta K(t) \] โดย \(I(t)\) คือการลงทุน

• แบบจำลองนี้แสดงให้เห็นว่าหากไม่มีการลงทุนเพิ่ม ทุนจะลดลงตามเวลาอย่างต่อเนื่อง

• ใช้ได้ทั้งกับทุนกายภาพ (เครื่องจักร อาคาร) และทุนมนุษย์ (ในบางบริบท)

7.6.5 Solow Growth Model (simplified)

แบบจำลองคือ:

\[\frac{dk}{dt} = s k^\alpha - \delta k, s,\delta>0, ~\alpha\in (0,1)\] คือรูปแบบ Solow Growth Model แบบง่ายที่สุด (simplified) ภายใต้การเปลี่ยนแปลงของทุนต่อหัว (capital per worker) โดยไม่มีการเจริญเติบโตของประชากรหรือเทคโนโลยี

คำอธิบายของแต่ละพารามิเตอร์:

สัญลักษณ์	ความหมาย
\(k(t)\)	ทุนต่อแรงงาน (capital per worker) ณ เวลา \(t\)
\(\frac{dk}{dt}\)	อัตราการเปลี่ยนแปลงของทุนต่อแรงงาน
\(s\)	อัตราการออม (saving rate)
\(\delta\)	อัตราการเสื่อมราคา (depreciation rate)
\(\alpha \in (0,1)\)	ผลตอบแทนต่อขนาดของทุน (capital share) จากฟังก์ชัน Cobb-Douglas \(y = k^\alpha\)

ความหมายของสมการ:

• แสดงการสะสมทุนในระบบเศรษฐกิจหนึ่ง ๆ

• ทุนเพิ่มขึ้นจากการออม: \(s k^\alpha\)

• ทุนลดลงจากการเสื่อม: \(\delta k\)

• เป็นแบบจำลองพื้นฐานในเศรษฐศาสตร์การเจริญเติบโต

วิธีทำ ใช้ SymPy ในการหาคำตอบ แต่ถ้ามีค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่ามากเกินไปอาจจะไม่ได้คำตอบ หรือเกิดข้อผิดพลาดได้ กำหนดให้ \(\alpha =0.5\)

# ตัวแปร
s <- syms("s", positive = TRUE)
delta <- syms("delta", positive = TRUE)
t <- syms("t")
# ฟังก์ชัน
K <- func("K")
# สร้างสมการ
ode <- Eq(diff_(K(t),t),s * K(t)^0.5 - delta * K(t))
latex_render(ode)

\[ \frac{d}{d t} K{\left(t \right)} = - \delta K{\left(t \right)} + s K^{0.5}{\left(t \right)} \]

แก้สมการ

latex_render(dsolve(ode))

\[ K{\left(t \right)} = e^{\delta \left(C_{1} - t\right)} + \frac{2 s e^{\frac{\delta \left(C_{1} - t\right)}{2}}}{\delta} + \frac{s^{2}}{\delta^{2}} \]

7.7 แบบฝึกหัดสมการเชิงอนุพันธ์ในเศรษฐศาสตร์

7.7.1 สมการเชิงอนุพันธ์พื้นฐาน (Basic ODEs)

1. แก้สมการเชิงอนุพันธ์ \(\frac{dy}{dt} = 4y\) โดยกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น \(y(0) = 2\)

2. จงหา general solution ของ \(\frac{dK}{dt} = sY - \delta K\), เมื่อ \(Y = K^{0.5}\)

3. ให้ \(\frac{dP}{dt} = aP(1 - \frac{P}{K})\), logistic model จงหา solution ทั่วไปของสมการนี้

4. จงแก้สมการ \(\frac{dC}{dt} = rC - \theta\) แล้วหาค่า \(C(t)\) เมื่อ \(C(0) = 5\)

5. แก้ \(\frac{dy}{dt} = ky(1 - y)\) แล้ววิเคราะห์พฤติกรรมของ \(y(t)\) เมื่อ \(t \to \infty\)

7.7.2 ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ 2 ตัวแปร

6. พิจารณาระบบ \[\begin{cases} \frac{dx}{dt} = 2x + 3y \\ \frac{dy}{dt} = x - y \end{cases}\] จงหาจุดดุลยภาพและตรวจสอบเสถียรภาพ

7. จงหาค่า eigenvalue ของระบบ \[ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} K \\ L \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} K \\ L \end{bmatrix} \]

8. พิจารณาระบบ \[ \begin{cases} \frac{dA}{dt} = A(1 - B) \\ \frac{dB}{dt} = B(A - 1) \end{cases} \]

จงหาเส้นเสถียร (nullclines)

9. เขียน flow field ของระบบ \[ \frac{dx}{dt} = x(3 - x - y), \quad \frac{dy}{dt} = y(2 - x - y) \]

10. ระบบการเปลี่ยนผ่านทุน-แรงงาน: \[ \frac{dK}{dt} = sK^{0.5}L^{0.5} - \delta K, \quad \frac{dL}{dt} = nL \] จงเขียนสมการ normalized ด้วย \(k = \frac{K}{L}\)

7.7.3 แบบจำลองพลวัตทางเศรษฐศาสตร์

11. พิจารณา IS curve แบบพลวัต: \(\frac{dY}{dt} = \alpha (C + I + G - Y)\) เมื่อ \(C = cY\), \(I = I_0\), \(G\) คงที่ จงหาสมการ \(\frac{dY}{dt}\) ที่เป็นรูปชัดเจน

12. แบบจำลอง Solow: \(\frac{dk}{dt} = sf(k) - (\delta + n)k\) เมื่อ \(f(k) = k^{1/2}\), \(s = 0.2\), \(\delta = 0.05\), \(n = 0.02\) จงวาดกราฟ \(\frac{dk}{dt}\) เทียบกับ \(k\)

13. ในโมเดล Ramsey, สมการของ \(\frac{dc}{dt} = \frac{1}{\theta}(r - \rho)c\) ให้ \(c(0) = 10\), \(r = 0.05\), \(\rho = 0.03\), \(\theta = 2\) จงหา \(c(t)\)

14. โมเดลการแพร่ระบาด: \[ \frac{dS}{dt} = -\beta SI, \quad \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \] จงหาเส้น Nullcline และจุดสมดุล

15. พิจารณาระบบราคาสินค้า: \[ \frac{dp}{dt} = \lambda(p^e - p), \quad \frac{dp^e}{dt} = \gamma(p - p^e) \] จงเขียนระบบให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ และหาค่า eigenvalues

7.7.4 แบบฝึกหัดเพิ่มโจทย์เชิงเศรษฐศาสตร์

16. ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของการออมคือ \(\frac{ds}{dt} = \alpha(Y - C - G)\) โดย \(C = cY\), \(G\) คงที่ จงแสดงสมการ \(\frac{ds}{dt}\) ในรูปของ \(Y\)

17. แบบจำลองการบริโภคมีพฤติกรรมแบบปรับตัว \(\frac{dC}{dt} = \lambda(Y - C)\), \(\lambda > 0\) จงแก้ \(C(t)\) เมื่อ \(C(0) = 50\), \(Y = 100\)

18. แบบจำลองจ้างงาน: \(\frac{dN}{dt} = \eta(N_d - N)\) เมื่อ \(N_d = a - bW\) จงแทนสมการให้เหลือเพียง \(N\) และ \(W\)

19. สมการการเติบโตของอุตสาหกรรม \(\frac{dI}{dt} = I(f - \lambda A)\) ให้ \(A = A_0e^{rt}\) จงแทนค่าลงในสมการ \(\frac{dI}{dt}\)

20. โมเดลการสะสมทุนแบบมีความหน่วง: \(\frac{dK}{dt} = sY(t-\tau) - \delta K(t)\) จงตั้งคำถามเกี่ยวกับ stability ของระบบนี้ (ไม่ต้องแก้)

แ

Andersen, M. M., & Højsgaard, S. (2023). caracas: Computer Algebra. https://github.com/r-cas/caracas

Berkelaar, M. (2024). lpSolve: Interface to ’Lp_solve’ v. 5.5 to Solve Linear/Integer Programs. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.lpSolve

Chanaim, S. (2023). Data Visualization with R Programming. https://bookdown.org/somsak_c/data_visualization_with_r_programming/

Meurer, A., Smith, C. P., Paprocki, M., Čertı́k, O., Kirpichev, S. B., Rocklin, M., Kumar, A., Ivanov, S., Moore, J. K., Singh, S., และคณะ. (2017). SymPy: symbolic computing in Python. PeerJ Computer Science, 3, e103. https://doi.org/10.7717/peerj-cs.103

Sievert, C. (2020). Interactive Web-Based Data Visualization with R, plotly, and shiny. Chapman; Hall/CRC. https://plotly-r.com

Ushey, K., Allaire, J., & Tang, Y. (2025). reticulate: Interface to ’Python’. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.reticulate

Wickham, H. (2016). ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis. Springer-Verlag New York. https://ggplot2.tidyverse.org